Как обмануть своего противника
Людям нравятся волшебные фокусы!
Да, мы знаем, что фокусники нас обманывают, в действительности, они не распиливают женщин пополам, но мы не можем не смотреть с восхищением на чудо, совершающееся на наших глазах.
Скажите мне, когда вы в последний раз видели шахматные фокусы? Кто-то из вас ответит «никогда». Поверьте: мы все немножко фокусники, потому что для победы над противником его нужно обмануть.
Как обмануть своего противника?
В фильме «Иллюзия обмана» главный герой раскрывает секрет: «Первый закон волшебства: всегда будьте самым умным из присутствующих в комнате». Вам нужно заставить противника поверить, что самый умный — он, хотя именно у вас припасен туз в рукаве!
Теперь посмотрим на шахматные фокусы.
Обратите внимание
Почти 50 лет назад, когда шахматы были невероятно популярны в Советском Союзе, игроков можно было встретить на пляже, на скамейке в парке, где угодно! К шахматистам-любителям подходил мужчина и показывал им позицию на своих карманных шахматах.
Незнакомец улыбаясь говорит: «Товарищи, вы не поверите. В этой позиции происходит что-то невероятное».
Разумеется, шахматисты недовольны, что кто-то отвлекает их от игры, но все же они оглядывают позицию на доске.
«Это известная позиция Сааведры», — говорит один из них.
«Да, белые выигрывают», — подтверждает другой.
«Да ладно! Вы надо мной шутите», — смеется незнакомец. «У черных лишняя ладья, они не могут здесь проиграть!»
Спор заканчивается пари, и шахматисты начинают доказывать незнакомцу его невежество. Вот как продолжается партия:
Тут игроки понимают, что происходит что-то странное, и белые не могут победить в известной позиции Сааведры. Пока они раздумывают, что же случилось, их деньги отправляются в карман незнакомца, а тот начинает поиски новой жертвы.
Позвольте мне объяснить вам, в чем дело. Позиция Сааведры — одна из тех, к которым относится поговорка «знает каждый советский школьник». Вот она:
Как видите, позиция, показанная незнакомцем, напоминала позицию Сааведры, но белый король и черная ладья поменялись местами, и результат партии тоже поменялся!
Вы думаете, что такие трюки проходят только с любителями? Смотрим дальше. В следующей партии опытнейший украинский гроссмейстер Маланюк поймал юного Петра Свидлера в дебютную ловушку:
А вот партия, сыгранная вторым шахматистом планеты:
Важно
Надеюсь, что вы уже понимаете, как обмануть противника. Рецепт весьма прост: создайте позицию, которая напоминала бы известную ловушку, чтобы ваш противник уверился, что он «самый умный из присутствующих в комнате». А потом докажите ему обратное!
Вот хороший пример: известная «ловушка Капабланки» в испанской партии:
В эту ловушку попадали десятки мастеров. Вот самый последний пример:
Если вы сумеете вызвать у противника иллюзию, что он может поймать вашего слона по образцам великого кубинца, успех вам практически гарантирован.
Это удалось ММ Марку Дизену:
Главный персонаж фильма «Иллюзия обмана» говорит: «Что такое магия? Концентрированный обман!»
Желаю, чтобы и вы удивляли своих противников магическими трюками!
Математические фокусы
Существуют математические фокусы, которые можно показывать, имея только мел и доску (или ручку и бумагу).
ФЕНОМЕНАЛЬНЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬ
Опишем несколько фокусов, показывающих ваши феноменальные вычислительные способности.
УМНОЖЕНИЕ В УМЕ
Фокус 1.
Вы предлагаете назвать какие-либо два двузначных числа, близкие к 100, и моментально вычисляете их произведение.
Алгоритм. Пусть, например, будут названы числа 96 и 97.
Вы находите числа, дополняющие их до ста. Это числа 4 и 3. От первого числа отнимаете дополнение второго (96 — 3 = 93) и присоединяете к полученному двузначному числу справа произведение дополнений (4 • 3 = 12).
Получаете ответ — 9312.
Секрет фокуса.
Пусть названы числа x и y. Их дополнения до ста – числа a и b. Тогда x = 100 — a, y = 100 — b. Перемножим эти числа.
x • y = (100 — a) • (100 — b) = (100 — a) • 100 • 100 • b + a • b = = (100 — a — b) • 100 + a • b = (x — b) • 100 + a • b.
То есть в полученном произведении число сотен – (x — b) (первые две цифры произведения), число единиц (a • b) (последние две цифры произведения).
Совет
Фокус можно показывать и с числами, близкими к 1000. Например, найдем произведение чисел 997 и 992. Дополнениями до 1000 у них будут числа 3 и 8. Первые три цифры произведения составит число 989 (997 — 8). Последние три цифры произведения составит число 024 (8 • 3 = 24). В итоге получим: 997 • 992 = 989 024.
Фокус 2.
Вы предлагаете написать любое пятизначное число и моментально умножаете его на 99 999.
Алгоритм. Пусть, например, будет написано число 65 786. Вы сначала отнимаете от этого числа единицу (65 785), а затем выписываете подряд дополнения всех цифр полученной разности до 9, начиная с первого (34 214). В итоге получаете число 6 578 534 214.
Секрет фокуса.
65 786 • 99 999 = 65 786 • 100 000 — 65 786.
Распишем это в виде
6 578 600 000 — 65 786 = 6 578 534 214
У последней шестерки занимаем единицу. Следовательно, исходное число уменьшилось на единицу (65 785). Занятую единицу возмещаем, заменяя нули (кроме последнего) девятками. Вместо последнего нуля будет число 10. Уменьшим эту десятку на 1, тогда мы должны уменьшить на единицу последнюю цифру вычитаемого числа. В итоге наш пример будет иметь вид:
6 578 599 999 — 65 785 = 6 578 534 214
Это и объясняет фокус.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ В УМЕ КУБИЧЕСКОГО КОРНЯ
Вы предлагаете участникам возвести в куб любое двузначное число и произнести вслух (или написать на доске) результат. После этого вы моментально извлекаете кубический корень и называете исходное число.
Секрет фокуса.
Вы должны запомнить кубы первых девяти цифр.
13 = 1; 23 = 8; 33 = 27; 43 = 64; 53 = 125; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729.
Когда вам назовут результат возведения в куб, то по последней его цифре легко определить последнюю цифру исходного двузначного числа (окончания у всех разные!). Первую цифру исходного числа определяем следующим образом. От результата убираем три последние цифры.
Полученное число сравниваем с выписанными кубами цифр. Находим наиболее близкий меньший, чем полученное число, куб. Цифра, которую возводили в куб, будет первой в исходном числе.
Например, пусть нам назвали число 474 552.
Последней цифрой двузначного числа, возводимого в куб, будет 8, так как только куб этого числа оканчивается на 2. Отбросим три последние цифры в названном числе. Получим число 474. Наиболее близким к нему меньшим кубом будет 343 (куб восьми больше, чем 474).
Поэтому первой цифрой двузначного числа будет 7. Ответ: 78.
ОБХОД КОНЕМ ВСЕХ ПОЛЕЙ ШАХМАТНОЙ ДОСКИ
Обратите внимание
Решение этой задачи в уме может вызвать восхищение вашими способностями у любого человека, не знающего секрета этого фокуса.
Вы просите начертить шахматную доску и крестиком обозначить поле, на которое ставят коня.
Вам должны назвать в шахматной нотации это поле (доску вы, конечно, не видите). Секунд 20 думаете (этого вполне достаточно). Начинаете называть поля, на которые должен пойти конь. Каждое названное поле должно зачеркиваться. На зачеркнутые поля конь ходить не должен.
В конце фокуса все поля будут зачеркнуты.
Секрет фокуса.
Вы должны запомнить стихотворение:
Алеет осень ценными дарами
Еще один животворящий день
Хлеба червонят желтыми шнурами
Хрустальных вод философична сень
Два вечера цеплявшиеся шишки
Артист писал бездонна синева
Дорожный шлак целуют червячишки
Еще покрыта флоксами трава
Дымится чай эффектней шоколада
Фарфоры чашек достаются трем
Блондинке девушке дана отрада
Форшмак делить холодным острием
Жена толкая хилую подругу
Желает сняться этим выходным
Ценя сама арктическую вьюгу
Бросает шар арбуза четверым
Цикад пяток едва чревовещая
Дарует дрему фикусам окна
Хотя довольны жаждавшие чая
Хозяин шумно жертвует вина
Фокстротами шесть девушек пленились
Эстрадных танцев фантастично па
Едва ступающий цыпленок вылез
А селезень блуждающий пропал
Алеет тело бронзовой осины
Царит теней ажурная длина
Беззвучней чем автомобиля шины
Болоту ветер дарит семена
Фонарь восьмью химерами сияет
Жук пролетает хлопая туда
Желанна осень если довершает
Ценнейший отдых бодрого труда
Конечно, поэзии в этом стихотворении мало, но кодировку ходов шахматного коня оно осуществляет. Каждый абзац имеет номер, поэтому перепутать их нельзя. Все стихотворение разбиваем на цепочки по два слова. Первая буква первого слова цепочки означает вертикаль шахматного поля (буквы а, b, c, d, e, f, g, h).
В первой букве второго слова цепочки закодированы номера горизонталей шахматного поля (цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). Первые буквы этих цифр являются первыми буквами вторых слов цепочек. Таким образом в стихотворении последовательно закодированы следующие ходы: a1, c2, e1, g2, h4 и т.д.
Если вам назовут поле a1, то вы, вслух расшифровывая цепочку за цепочкой, получаете решение. Если вам назовут другое поле, то вы мысленно расшифровываете цепочки, начиная с a1, до тех пор, пока не попадете на названное поле. После этого начинаете вслух произносить следующие поля до поля конца стихотворения (поле b3).
Затем начинаете сначала (поле a1) и опять, уже вслух, расшифровываете цепочки до тех пор, пока не дойдете до названного поля.
Эти фокусы лучше показывать среди знакомых и коллег.
Если вы будете показывать их незнакомым, то они подумают, что вы хорошо считаете в уме, и удивления эти фокусы не вызовут (так же не вызовет у них удивления то, что вы, например, хорошо рисуете или танцуете). Больше удивления у незнакомых вызывают фокусы на угадывание или предсказание результата.
Литература
Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1986. – 128 с.
Котов А.Я. Вечера занимательной арифметики. – М.: Просвещение, 1967. – 184 с.
Панов В. Тайна одного трюка // Наука и жизнь. – 1969. – № 5. – С. 130-131.
(Продолжение следует).
Антонов Ю.С.кандидат физико-математических наук, доцент
Глава 2. Задачи о шахматной доске / Математика на шахматной доске // Гик Е. Я. ≪ ∀ x, y, z
Подробный рассказ о шахматной математике, к которому мы сейчас приступаем, естественнее всего начать с математических задач о самой доске, пока что не расставляя на ней никаких фигур. Именно этой теме и посвящена настоящая глава.
Рассмотрим прежде всего несколько задач о покрытии доски костями домино размером 2×1. Всюду предполагается, что каждое домино покрывает два поля доски, а каждое поле покрыто одной половиной домино. Начнем со следующей старинной задачи.
Можно ли покрыть домино квадрат размером 8×8, из которого вырезаны противоположные угловые клетки (рис. 2,а)?
Рис. 2. Задача о домино: а — квадрат с вырезанными углами; б — шахматная доска с вырезанными полями
Мы могли бы воспользоваться алгебраическими рассуждениями12,
однако «шахматное» решение и проще, и изящнее. Окрасим наш урезанный квадрат в черно-белый цвет, превратив его в шахматную доску без двух угловых полей a8 и h1 (рис. 2,б).
При любом покрытии доски каждое домино
покрывает одно белое и одно черное поле.
У нас же белых полей на два меньше, чем черных (вырезанные поля — белые), и поэтому необходимого покрытия не существует! Как мы видим, раскраска доски не только позволяет шахматисту легче ориентироваться во время игры, но и служит средством решения математических задач.
В рассмотренной задаче существенным было не то, что из доски вырезаны угловые поля, а то, что они одного цвета. Ясно, что какую пару одноцветных полей ни вырезать, покрыть домино оставшуюся часть доски не удастся. Таким образом, возникает следующая задача.
Пусть теперь на шахматной доске вырезаны два поля разного цвета. Всегда ли можно покрыть оставшуюся часть доски 31 домино?
Важно
Оказывается, что всегда. Эффектное доказательство нашел известный
американский математик Р. Гомори. Проведем на шахматной доске границы между вертикалями и горизонталями так, как показано на рис. 3.
В лабиринте между этими границами черные и белые поля следуют друг за другом, чередуясь, как пуговицы двух цветов на замкнутой нити (путь, по которому можно обойти этот лабиринт, является замкнутым).
Какие бы два поля разного цвета мы ни вырезали из доски, нить разорвется: в одном месте, если вырезанные поля находятся рядом, и в двух местах — в противном случае. При этом каждый кусок нити будет состоять из четного числа полей. Следовательно, эти куски, а значит — и всю доску, покрыть домино можно!
Рис. 3. Лабиринт Гомори
Любопытные идеи, связанные с пуговицами и нитями, мы еще встретим в главе 11.
Предположим, что из шахматной доски вырезаны некоторые поля так, что на оставшуюся ее часть нельзя поместить ни одного домино. Нетрудно проверить, что наименьшее число вырезанных полей, обладающих таким свойством, равно 32 — это все поля одного цвета (белые или черные).
Задачи о шахматной доске и домино составляют лишь небольшую часть
огромной серии задач такого сорта. Американский математик С. Голомб создал целую науку, которую назвал полимипо, а его книга, посвященная этой теме, переведена во многих странах мира, в том числе у нас13.
В общем случае полимино представляет собой односвязную фигуру, состоящую из квадратов. С точки зрения шахматиста односвязность означает, что все квадраты полимино можно обойти ходом ладьи. В зависимости 07 числа квадратов, полимино бывают различного тига.
Мономино содержит один квадрат, домино — два, тримино — три, тетрамино —
четыре, пентамино — пять, гептамино — шесть квадратов и т. д. В задачах
о полимино покрываются разнообразные доски, не обязательно прямоугольные. Мы остановимся еще на нескольких вопросах, связанных с обычной шахматной доской.
Очевидно, покрыть дсску только прямыми тримино, т. е. домино 3×1, невозможно, так как 64 не делится на 3. Возникает следующая задача.
Можно ли покрыть шахматную доску 21 прямым тримино и одним мономино? Если это возможно, то какие поля может занимать мономино?
Одно из необходимых покрытий дапо на рис. 4,а. Для определения возможных расположений мономино проведем на доске две системы параллельных прямых, как показано на рис. 4,б.
Легко убедиться, что при любом покрытии каждое тримино покрывает ровно одно поле, через которое проходит сплошная линия, и ровно одно, через которое проходит пунктирная линия.
Совет
Поскольку число полей, пересекаемых сплошными прямыми, равно 22, так же как и число полей, пересекаемых пунктирными прямыми, а тримино имеется 21, то мономино может покрывать лишь поля, пересекаемые обоими семействами прямых.
А таких полей — всего четыре: c3, c6, f3 и f6! Поворачивая доску на 90, 180 и 270°, можно получить соответствующие покрытия для каждого из этих четырех полей.
Рис. 4. Задача о тримино: а — на доске 21 тримино; б — нахождение непокрытых полей
Следующая задача несколько отличается от рассмотренных выше.
Можно ли шахматную доску покрыть домино так, чтобы на ней нельзя было провести ни одной границы между вертикалями и горизонталями,
не пересекая домино?
Если представить себе, что доска — это стенка, а домино — кирпичи, то существование указанной границы (шва) свидетельствует о непрочной кладке. Иначе говоря, в задаче спрашивается, можно ли расположить «кирпичи» так, чтобы «стенка» не рухнула.
Прямоугольник, который удается покрыть необходимым образом, называется «прочным». В «прочности» шахматной доски можно убедиться на рис. 5.
В общем случае Гарднер показывает, что из домино можно сложить «прочный» прямоугольник,
если его площадь четна, а длина и ширина больше четырех, при этом исключение составляет лишь квадрат 6×6.
Рис. 5. «Прочная» шахматная доска
Ниже мы будем часто иметь дело с прямоугольными шахматными досками того ила иного размера. При этом всегда считается, что доска m×n
имеет m вертикалей и n горизонталей (шахматных). Мы говорим, что доска «четна», если число ее полей четно, и «нечетна» — в противном случае. Всюду, где размеры доски не указаны, имеется в виду стандартная шахматная доска, для которой m = n = 8.
Доска 100×4 покрыта домино. Доказать, что ее можно распилить по одной из границ между вертикалями и горизонталями, не затрагивая ни одного домино.
Любая из указанных границ делит доску на две части, состоящие из четного числа полей. Поля каждой части разобьем на два класса: покрытые домино, целиком лежащими в этой части, и покрытые домино, пересекаемыми границей.
Так как число полей каждой части четно (быть может, нуль), равно как и число полей первого класса (каждое домино покрывает два поля), то и число полей второго класса четно. А это и значит, что число домино, пересекаемых границей, четно.
Всего разделяющих границ существует 102 (99 вертикальных и 3 горизонтальных), н если каждая из них пересекает домино, то в покрытии участвует не менее 102×2 = 204 домино. В нашем же распоряжении их только 200! Фактически мы показали, что прямоугольник 100×4 является «непрочным».
Вопрос о возможности покрытия произвольной прямоугольной доски линейными k-мино (домино k×1) решается следующей теоремой14.
Доску m×n можно покрыть линейными k-мино в том и только в том случае, если хотя бы одно из чисел m или n делится без остатка на k.
Проиллюстрируем теорему на следующем примере.
Можно ли покрыть доску 10×10 (на такой доске играют в стоклеточные шашки) прямыми тетрамино?
Прямое тетрамино имеет размеры 4×1, и, значит, в принципе 25 костей могли бы покрыть все поля нашей доски. Однако из теоремы следует,
что это невозможно — 10 не делится на 4.
Рассмотрим еще несколько задач о шахматной доске. В решении следующей задачи виовъ используется ее раскраска.
Пусть доска состоит из нечетного числа полей. На каждом ее поле поставим какую-нибудь шахматную фигуру. Можно ли сдвинуть все эти фигуры на соседние поля (по вертикали или горизонтали), чтобы при этом никакие две из них не попали на одно поле?
Обратите внимание
Задание невыполнимо. Действительно, если бы указанное смещение фигур существовало, то каждая «белая» фигура (стоящая на белом поле) стала бы «черной» (попала на черное поле), а каждая «черная» — «белой».
Таким образом, доска состояла бы из одинакового числа белых и черных полей, а это противоречит ее «нечетности».
Популярными являются задачи о разрезании шахматной доски. Самой известной из них является следующая, принадлежащая С. Лойду.
На полях a1, b2, c3, d4 стоят четыре коня. Разрезать доску на четыре конгруэнтные части (совпадающие при наложении) так, чтобы на каждой из них оказалось по коню.
В задачах на разрезание всегда предполагается, что разрезы производятся только по границам между вертикалями и горизонталями доски.
Решение данной задачи показано на рис. 6. Со времен Лойда появилось много новых и более трудных задач на эту тему.
В частности, решались задачи о разрезании доски на четыре конгруэнтные части при различных расположениях коней (кони, конечно, играют здесь лишь символическую роль). В этом вопросе имеется еще много нерешенных проблем.
Например, до сих пор не известно число способов, которыми можно
разрезать обычную доску (без фигур) на две конгруэнтные части.
Рис. 6. Задача Лойда о четырех конях
Пусть после нескольких разрезов доски образовавшиеся части разрешается перекладывать так, чтобы следующий разрез мог рассечь не одну, а сразу несколько частей. Сколько разрезов потребуется для получения 64 отдельных полей доски (квадратов 1×1)?
Сначала разрежем доску пополам, затем обе половины положим рядом и
разрежем доску на четыре одинаковые части и т. д. Всего понадобится 6 разрезов (2е = 64) и меньшим числом не обойтись.
Пусть теперь части доски разрешается резать только отдельно. Сколько разрезов понадобится для получения 64 полей в этом случае?
Как правило, эта задача (особенно, если она предлагается после предыдущей) вызывает определенные трудности. Видимо, это связано с некоторой инерционностью нашего мышления. Ведь сразу видно, что понадобится 63 разреза! Действительно, каждый разрез увеличивает число частей на единицу; при этом в начальный момент мы имеем одну часть (саму
доску), а в конечный — 64 (все поля доски).
Рис. 7. Три задачи на необычной доске
В задаче на рис. 7,а требуется выполнить три задания, причем одно математическое и два чисто шахматных:
а) разрезать доску на четыре конгруэнтные части;
б) заматовать черного короля кратчайшим путем при ходе белых;
в) заматовать черного короля кратчайшим путем при ходе черных верные играют кооперативно).
Решения: а) как нужно разрезать доску, показано на рис. 7,б; б) при ходе белых мат дается на 12-м ходу:
1-12. Сe1-b4, Крe3-d3-c4, Сe4-c2-b3, Крc4-c3, Сb4-d6, Сb3-d5, Крc3-c2, Сd6-c5, Сd5-c4, Сd6-b4
мат (все ходы черного короля вынуждены и не приводятся); в) при правильной игре после 1.
… Крe6-e7 мат невозможен, так как черный король скрывается на e8 — 2. Сe1-b4+ Крe7-e8, и чернопольный слон вынужден уйти с диагонали a3 — e7 ввиду угрозы пата. Однако если черные играют кооперативно (помогают белым дать мат), то цель достигается всего
через три хода:
1. … Крe6-d6
2. Крe3-d4 Крe6-e7
3.
Сe1-b4+ Крe7-e6
4. Сe4-d5 мат.
Ряд полей нашей доски при матовании не используется, но при их исключении не было бы задачи на разрезание доски.
Рис. 8. Парадокс с разрезанием шахматной доски: а) 8×8 = 64; б) 13×5 = 65
Рассмотрим теперь один известный парадокс, связанный с разрезанием шахматной доски. Разрежем доску на четыре части, как показано на рис.
8,а (в данном случае нам невыгодно раскрашивать ее поля), и из образовавшихся частей сложим прямоугольник (рис. 8,б). Площадь доски равна 64, а площадь полученного прямоугольника равна 65.
Таким образом, при разрезании доски откуда-то взялось одно лишнее поле!
Разгадка парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены не совсем точно (мы умышленно провели толстые линии, чтобы скрыть неточности). При аккуратном построении чертежа на рис. 8,б вместо диагонали прямоугольника появится ромбовидная, чуть вытянутая фигура со сторонами, которые кажутся почти слившимися. Площадь этой фигуры как раз
будет равна «лишней» единице.
Важно
Известный популяризатор математики начала века Е. Игнатьев придумал «метод шахматной доски», позволяющий выводить различные формулы15. Приведем два несложных примера на эту тему.
Рис. 9. Вывод формул методом шахматной доски:
а) 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2;
б) 8(1 + 2 + … + n) + 1 = (2n + 1)²
Найдем сумму n первых натуральных чисел «методом шахматной доски». Для этого на доске (n + 1)×n (на рис.
9,а n = 8) окрасим в чериый цвет все поля первой вертикали, все поля второй вертикали (кроме верхнего), третьей вертикали (кроме двух верхних) и т. д., наконец — нижнее поле n-й вертикали.
В результате белых и черных полей на нашей доске будет поровну, а именно 1 + 2 + … +
n. Поскольку вся доска состоит из п (n + 1) полей, получаем
2 (1 + 2 + … + n) = n(n + 1),
откуда вытекает известная формула для суммы арифметической прогрессии:
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Теперь докажем такую формулу:
8(1 + 2 + … + n) + 1 = (2n + 1)².
Для этого возьмем доску (2n + 1)×(2n + 1) и закрасим ряд ее полей
черным цветом так, как показано на рис. 9, 6 (для случая n = 5). Очевидно, каждая черная часть содержит (1 + 2 + … + n) полей.
Без учета центрального поля мы имеем здесь четыре одинаковые белые и черные части.
Необходимая формула следует из того, что наша доска содержит (2n +
1)² полей и состоит из центрального поля и восьми одинаковых частей (четырех белых и четырех черных — рис. 9,б).
Совет
При разгадке парадокса, а также знакомстве с «методом шахматной доски» саму доску можно благополучна заменить листом клетчатой бумаги или таблицей. Существует огромное множество задач с такими объектами, однако их подробное рассмотрение слишком далеко увело бы нас от шахмат.
Рис. 10. Теорема Пифагора на шахматной доске:
а — квадрат и четыре треугольника; б — два квадрата и четыре треугольника
В заключение главы приведем одно старинное доказательство на шахматной доске… теоремы Пифагора. Нарисуем на доске квадрат, как показано на рис. 10,а. Доска разбивается на этот квадрат и четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника. На рис. 10, 6 мы видим те же четыре треугольника, а также два квадрата.
Итак, треугольники в обоих случаях занимают одну и ту же площадь. Следовательно, одну и ту же площадь занимают и оставшиеся части доски без треугольников, на рис. 10,а — одного квадрата, а на рис. 10,б — двух.
Поскольку большой квадрат
построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие — на его катетах, то «пифагоровы штаны во все стороны равны»!
Разумеется, если говорить строго, наши рассуждения не доказывают теорему Пифагора (исследован лишь некоторый частный случай), а лишь иллюстрируют ее. Но такое доказательство проходит и без использования шахматной доски — для любого прямоугольного треугольника можно подобрать
квадрат, который разбивается подобным образом.
12. Именно такое решение дано в книге Т. Саати «Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы» (М., «Мир», 1973).
13. С. Голомб. Полимино. М., «Мир», 1974.
14. Она доказана А. Сойфером в статье «Клетчатые доски и полимипо» («Квант», 1972, № 11);
там же приведен ряд новых задач о полимино.
15. Е. Игнатьев. В царстве смекалки, или арифметика для всех. Кн. 1 — 3. М. — Пг., Госиздат, 1923.
Оптический обман
Даже самые закоренелые скептики верят тому, что говорят им их чувства, но чувства легко обмануть. Оптическая иллюзия — впечатление о видимом предмете или явлении, несоответствующее действительности, т.е. оптический обман зрения.
В переводе с латыни слово «иллюзия» означает «ошибка, заблуждение». Это говорит о том, что иллюзии с давних времен интерпретировались как некие сбои в работе зрительной системы.
Изучением причин их возникновения занимались многие исследователи…
Некоторые зрительные обманы давно уже имеют научное объяснение, другие до сих пор не объяснены.Обратите внимание
Уже около ста лет известно, что когда на сетчатке глаза возникает изображение, состоящее из светлых и тёмных областей, свет от ярко освещённых участков как бы перетекает на тёмные участки. Это явление называется оптической иррадиацией.
Вглядитесь в черный квадрат на белом фоне и белый квадрат на черном фоне. Белый квадрат кажется большего размера, чем черный. Это оптическая иллюзия. На самом деле квадраты одинакового размера.
Также, у некоторых людей при наблюдении за белым квадратом, может возникнуть иллюзия «свечения» квадрата (будто стороны квадрата захватывают дополнительную площадь фона по его периметру).
Одна из таких иллюзий описана в 1995 году профессором Мачассуасетского технологического института Эдвардом Адельсоном («иллюзия тени Адельсона»).
Он обратил внимание, что восприятие цвета существенно зависит от фона и одинаковые цвета на разном фоне воспринимаются нами как разные, даже если находятся близко и видны нами одновременно.
Клетки шахматной доски
Иллюзия восприятия цвета, опубликованная профессором Массачусетского технологического института Эдвардом Эдельсоном (Edward H.
Adelson) в 1995 году.
Разного ли цвета клетки A и B шахматной доски? Несмотря на кажущееся различие, цвета абсолютно одинаковы…
Центральная полоса одной яркости
Вращающаяся девушка
Картинка, созданная японским дизайнером из Хиросимы Nobuyuki Kayahara в 2003 году.
Утверждалось, что это тест-картинка для зрительного восприятия и упражнение для воображения.Важно
Если человек видит вращение по часовой стрелке — то он логик, т.е. у него более развито левое полушарие, если против — интуит. Большинство людей после недолгих упражнений способны видеть вращение девушки в любую сторону, этому способствуют разные техники.
Иногда достаточно пристального разглядывания картинки в течении 30 секунд, иногда слежения за тенью.
Вид из вагона
Мелькание штрихов за окном поезда создает иллюзию движения. А вот направление движения каждый человек может изначально определить по-разному.
Дракон Гарднера
Дракон Гарднера или дракон Джери Андруса (по имени создателя), который все время смотрит на наблюдателя — одна из самых известных оптических иллюзий. Чтобы добиться максимального эффекта, нужно разместить дракона так, чтоб источник света был внизу, закрыть один глаз и на расстоянии 1 — 2 метра, перемещаясь, смотреть на дракона.
Бесконечная лестница
Эту фигуру чаще всего называют «Бесконечной лестницей», «Вечной лестницей» или «Лестницей Пенроуза» — по имени ее создателей. Ее также называют «непрерывно восходящей и нисходящей тропой». «Бесконечная лестница» — одна из самых известных классических невозможностей.
Бегущие монстры
Иллюзия Роджера Шепарда, связанная с восприятием перспективы. На рисунке убегающий монстр кажется значительно меньше догоняющего.
На самом деле, монстры совершенно одинаковы. Первый является копией второго.
Летающие пирамиды
Скульптура венесуэльского художника Рафаэля Барриоса (Rafael Barrios).
Одна из многочисленных экспозиций, выставленных в Нью-Йорке на Парк-авеню. Все они выполнены из плоских листов стали и выкрашены акриловыми красками. Однако, на расстоянии скульптуры кажется объемными.
Линии на путях
Иллюзия Понцо. В 1913 году Марио Понцо показал, что иногда наш мозг определяет размер объекта, основываясь на фоне позади него.
Красные Линии на фото имеют одинаковую длину, параллельны и равноудалены друг от друга. Тем не менее, ближние к нам линии кажутся короче дальних.
Лучи из глазаСовет
Иллюзия Akiyoshi Kitaoka. Абсолютно статичная картинка имеет иллюзию наплыва на наблюдателя.
Акиоши Китаока — профессор психологии в университете (Ritsumeikan) в Токио.
Всемирноизвестный своими многочисленными иллюзиями движения.
Я нашел дорогу
Иллюзия создана фотографом любителем Робертом Брюсом Мюрреем III. Надпись уверенно наплывает на наблюдателя.
Плавающая звезда
Плавающая звезда. Художник Kaia Nao. Участник конкурса «Иллюзия года 2012». Абсолютно статичное изображение звезды, кажется вращающимся.
Невозможный слон
Рисунок Роджера Шепарда.
Пусть собака спит
Художник Игорь Лысенко. Оригинальные картины в жанре сюрреализма содержат массу загадок и скрытых образов.Так, например, на представленной картине художник спрятал образ гуся. Однако найти его не просто.
Невозможный куб
Невозможный куб с картины Маурица Корнелиса Эшера «Бельведер». Изображение является результатом «чистого» моделирования в 3D Max,.
Это простое фото из серии “невозможные треугольники”. Вы тоже полагаете что это два хитро сплетённых между собой треугольника? Присмотритесь повнимательнее.
Кошка и мышь
Иллюзия из серии двойственных изображений. На рисунке можно увидеть или кошку или мышь, но практически невозможно видеть два образа одновременно.
Драгун и слон
Перевёртыш — вид оптической иллюзии, в которой от направления взгляда зависит характер воспринимаемого объекта.
Рисунок на спичечном коробке. Испания 1870 г.
Параллельные линииОбратите внимание
Вариант классической иллюзии от японского профессора психологии Акиоши Китаока. Линии на рисунке параллельны.
Стена
Искажение перспективы. Какая из желтых линий в углах стены больше? Левая кажется значительно меньше, чем правая.
На самом деле желтые линии имеют совершенно одинаковую высоту.
Комната Эймса
Комната, придуманная Адельбертом Эймсом-мл. в 1946 году, представляет собой пример трёхмерной оптической иллюзии. Комната спроектирована таким образом, что при взгляде спереди кажется обычной, с перпендикулярными стенами и потолком.
На самом деле, форма комнаты представляет собой трапецию, где дальняя стена расположена под очень острым углом к одной стене и, соответственно, под тупым углом к другой. Правый угол, таким образом, значительно ближе к наблюдателю, чем левый.
За счёт иллюзии, усиливаемой соответственно искажёнными шахматными клетками на полу и стенах, человек, стоящий в ближнем углу, выглядит великаном по сравнению со стоящим в дальнем. Когда человек переходит из угла в угол, наблюдателю кажется, что он резко растёт или, наоборот, уменьшается
Математические чудеса и тайны
Гарднер Мартин
'МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧУДЕСА И ТАЙНЫ'
Предисловие редактора к русскому изданию
Перед вами обычная квадратная шахматная сетка из 64 клеток. На ваших глазах делается несколько разрезов и из получившихся частей составляется прямоугольник, в котором, однако, всего 63 клетки!
Вы задумали число — одно из тех, что написаны на карточках, разбросанных по столу. Ваш партнер поочередно трогает карточки указкой, а вы в это время произносите про себя по буквам задуманное число, и когда вы доходите до последней буквы, указка останавливается как раз на вашем числе!
Фокусы? Да, если хотите; а лучше сказать — эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел и лишь облеченные в несколько экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента — это значит понять пусть небольшую, но точную математическую закономерность.
Вот этой скрытой математичностью и интересна книга Мартина Гарднера.
Скрытой — потому что по большей части сам автор не формулирует на языке математики закономерностей, лежащих в основе его экспериментов, ограничиваясь описанием действий показывающего, явных и тайных; но читателю, знакомому с элементами школьной алгебры и геометрии, несомненно, доставит удовольствие самому восстановить по объяснениям автора соответствующую алгебраическую или геометрическую идею. Впрочем, в отдельных, более интересных случаях (отмеченных числами с круглой скобкой) мы позволили себе сопроводить изложение автора небольшими примечаниями, выявляющими математическую суть его построений, эти примечания помещены в конце книги.
Математические фокусы — очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей.
Если при учебном изложении стремятся к возможно большему раскрытию идеи, то здесь для достижения эффективности и занимательности, наоборот, как можно хитрее маскируют суть дела.
Именно поэтому вместо отвлеченных чисел так часто используются различные предметы или наборы предметов, связанные с числами: домино, спички, часы, календарь, монеты и даже карты (разумеется, такое использование карт не имеет ничего общего с бессмысленным времяпровождением азартных игроков; как указывает автор, здесь карты рассматриваются тросто как одинаковые предметы, которые удобно считать; имеющиеся на них изображения не играют при этом никакой роли-»).
Важно
Мы надеемся, что книга Гарднера будет интересна многим читателям: юным участникам иисольных математических кружков, взрослым «неорганизованным» любителям математики, а может быть, тот или иной из описанных здесь экспериментов пробудит улыбку и у серьезного ученого в краткий момент отдыха от большой работы.
Г. Е. Шилов
Подобно многим другим предметам, находящимся на стыке двух дисциплин, математические фокусы не пользуются особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Первые склонны рассматривать их как пустую забаву, вторые пренебрегают ими как слишком скучным делом.
Математические фокусы, скажем прямо, не принадлежат к той категории фокусов, которая может держать зачарованной аудиторию из неискушенных в математике зрителей; такие фокусы обычно отнимают много времени, и они не слишком эффектны; с другой стороны, вряд ли найдется человек, собирающийся черпать глубокие математические истины из их созерцания.
И все-таки математические фокусы, подобно шахматам, имеют свою особую прелесть. В шахматах объединено изящество математических построений с удовольствием, которое может доставить игра.
В математических же фокусах изящество математических построений соединяется с занимательностью.
Неудивительно поэтому, что наибольшее наслаждение они приносят тому, кто одновременно знаком с обеими этими областями.
Настоящая книга, насколько мне известно, представляет собой первую попытку обзора всей области современного математического фокуса. Большая часть материала книги взята из специальной литературы посвященной фокусам, а не из развлекательной математической литературы.
По этой причине лица, изучавшие развлекательную математическую литературу, но незнакомые с современной специальной литературой, посвященной фокусам, вероятно, встретят в этой книге новую область развлекательного знания — новое богатое поле, о существовании которого они могли совершенно не подозревать.
Нью-Йорк, 1955 г.
Мартин Гарднер
Глава первая. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ С КАРТАМИ
Совет
Игральные карты обладают некоторыми специфическими свойствами, которые можно использовать при составлении фокусов математического характера. Мы укажем пять таких свойств.
1. Карты можно рассматривать просто как одинаковые предметы, которые удобно считать; имеющиеся на них изображения не играют при этом никакой роли.
С таким же успехом можно было бы пользоваться камешками, спичками или листочками бумаги.
2. Картам можно приписывать числовые значения от 1 до 13 в зависимости от того, что изображено на их лицевой стороне (при этом валет, дама и король принимаются соответственно за 11, 12 и 13)[1]).
3. Их можно делить на четыре масти или на чёрные и красные карты.
4. Каждая карта имеет лицевую и обратную стороны.
5. Карты компактны и одинаковы по размеру. Это позволяет раскладывать их различным образом, группируя в ряды или составляя кучки, которые тут же можно легко расстроить, просто смешав карты.
Благодаря такому обилию возможностей карточные фокусы должны были появиться очень давно, и можно считать, что математические фокусы с картами, безусловно, столь же стары, как сама игра в карты.
По-видимому, наиболее раннее обсуждение карточных фокусов, выполненное математиком, встречается в развлекательной книжке Клода, Гаспара Баше (Claud Gaspard Bachet «Problemes plaisants et delectables»), вышедшей во Франции в 1612 году. Впоследствии упоминания о карточных фокусах появлялись во многих книжках, посвященных математическим развлечениям.
Первым и, возможно, единственным философом, снизошедшим до рассмотрения карточных фокусов, был американец Чарлз Пейрс (Charles Peirce).
Обратите внимание
В одной из своих статей он признается, что в 1860 году «состряпал» несколько необыкновенных карточных фокусов, основанных, пользуясь его терминологией, на «циклической арифметике».
Два таких фокуса он подробно описывает под названием «первый курьез» и «второй курьез».
«Первый курьез» основан на теореме Ферма. Для одного лишь описания способа его демонстрации потребовалось 13 страниц н дополнительно 52 страницы были заняты объяснением его сущности. И хотя Пейрс сообщает о «неизменном интересе и изумлении публики», вызываемом его фокусом, кульминационный эффект этого фокуса представляется настолько не соответствующим сложности приготовлений, что трудно поверить, что зрители не погружались в сон задолго до окончания его
Math.ru
Мартин Гарднер М.: Наука, 1978. 128 с. Тираж 300000 экз.
Загрузить (Mb)
djvu (1.21)
pdf (-)
ps (-)
html (-)
tex (-)
Математические фокусы — очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей.
Ртой скрытой математичностью Рё интересна РєРЅРёРіР° Мартина Гарднера — сам автор РЅРµ формулирует РЅР° языке математики закономерностей, лежащих РІ РѕСЃРЅРѕРІРµ его экспериментов, ограничиваясь описанием действий показывающего, явных Рё тайных. РќРѕ читателю, знакомому СЃ элементами школьной алгебры Рё геометрии, несомненно, доставит удовольствие самому восстановить РїРѕ объяснениям автора соответствующую алгебраическую или геометрическую идею.
Книга будет интересна многим читателям: юным участникам математических кружков, взрослым любителям математики, а может быть, тот или иной из описанных здесь экспериментов пробудит улыбку и у серьезного ученого в краткий момент отдыха от большой работы.
Содержание
Предисловие редактора к русскому изданию
�з предисловия автора
Глава первая
МАТЕМАТ�ЧЕСК�Е ФОКУСЫ С КАРТАМ�
Пять кучек карт
Карты как счетные единицы
Угадывание числа карт, снятых с колоды.
�спользование числовых значений карт
Фокус с четырьмя картами. Удивительное предскаэание. Фокус с задуманной картой. Циклическое число. Отсутствующей карта.
Фокусы, основанные на различии цветов и мастей
Фокус с королями и дамами.
�спользование лицевой и обратной сторон карт
Сопостапленне числа карт черной и красной масти. Фокус с перевертыванием карт.
Фокусы, зависящие от первоначального расположения карт в колоде
Фокус с четырьмя тузами. ?Манхеттенские чудеса?. Сколько переложено карт? Фокус с нахождением карты.
Глава вторая
ФОКУСЫ С МЕЛК�М� ПРЕДМЕТАМ�
�гральные кости
Угадывание суммы. Отгадывание выпавшего числа очков.
Домино
Цепочка с разрывом. Ряд из тринадцати косточек.
Календари
Таинственные квадраты. Фокус с отмеченными датами. Предсказание.
Часы
Угадывание задуманного числа на циферблате. Фокус с часами и игральной костью.
Спички
Три кучки спичек. Сколько спичек зажато в кулаке? Кто что взял?
Монеты
Таинственная девятка. В какой руке монета? Герб или ?решетка?.
Шахматная доска
Фокус о тремя шашками.
Мелкие предметы
Фокус с тремя предметами. Фокус с отгадыванием одного из четырех предметов.
Глава третья
ТОПОЛОГ�ЧЕСК�Е ГОЛОВОЛОМК�
Бумажные кольца.
Фокусы с носовым платком
Фокус с перерезыванием пальца. Фокус со сцепленными платками. Проблема завязывания узлов.
Шнуры и бечевки
Фокусы со шнуром или бечевкой. Другие фокусы со шнуром.
Одежда
Загадочная петля. Вывертывание жилета наизнанку. Снятие жилета.
Резиновые кольца
Скачущее кольцо. Перекрученное кольцо.
Глава четвертая
ФОКУСЫ СО СПЕЦ�АЛЬНЫМ СНАРЯЖЕН�ЕМ
Карточки с числами. Карточки с отверстиями.
Фокусы с ?прикосновениями?
Фокус с шестью квадратиками. Карта цветов. Задумайте животное.
Фокусы с игральными костями и домино
Фокус СЃ трехзначными числами. Ящичек для фокуса СЃ РґРѕРјРёРЅРѕ. Фокус СЃ фишками.Важно
Глава пятая
�СЧЕЗНОВЕН�Е Ф�ГУР. РАЗДЕЛ I
Парадокс с линиями. �счезновение лица. ?�счезающий воин?. Пропавший кролик.
Глава шестая
�СЧЕЗНОВЕН�Е Ф�ГУР. РАЗДЕЛ II
Парадокс шахматный доски. Парадокс с площадью. Вариант с квадратом. Числа Фибоначчи. Вариант с прямоугольником. Еще один вариант парадокса. Вариант с треугольником. Квадраты из четырех частей. Квадраты из трех частей. Квадраты из двух частей. Криволинейные и трехмерные варианты.
Глава седьмая
ГОЛОВОЛОМК� С ОТВЛЕЧЕННЫМ� Ч�СЛАМ�
Быстрое извлечение кубического корня. Cложение чисел Фибоначчи. Предсказание числа. Отгадывание числа. Тайна девятки. Цифровые корни. Устойчивость цифрового корня. Отгадывание возраста. Фокус со сложением. Фокус с умножением. Тайна семерки. Предсказание суммы. ?Психологические моменты?.
Примечание редактора
Загрузить (Mb)
djvu (1.21)
pdf (-)
ps (-)
html (-)
tex (-)
Шахматная доска и расстановка шахматных фигур на ней
Здравствуйте друзья. В вами дядя Валера Параничев.
Театр, как известно, начинается с вешалки. Шахматы – с шахматной доски. Изначальная расстановка шахматных фигур на доске должна быть правильной, иначе вся ваша игра пойдет на наперекосяк и не по правилам.
Вначале небольшое отступление. Раз уж вы попали на эту страницу, значит вы новичок, поэтому предлагаем вашему вниманию классный обучающий видеокурс «Как научить ребенка играть в шахматы». Благодаря ему вы и сами все правила изучите и усвоите, еще и ребенка от 4-х лет научите играть. Не пожалеете…
Если вам хочется поскорее приступить к игре, не спешите. Вы же шахматист, а шахматы начинаются с азов.
Если вы не любите читать, то смотрите видео:
Смотреть полный плейлист всех правил шахмат от А до Я на Ютуб (подписывайтесь на обновления).
Шахматная доска должна быть расположена следующим образом:
Совет
Только так и никак иначе. Белые фигуры должны располагаться на 1 и 2 горизонталях. Черные, соответственно на 7 и 8
Пример неправильного расположения доски и фигур:
Здесь доска просто перевернута. Белые фигуры занимаю место черных и наоборот.
Возможно, вы обратили внимание, что доска похожа на систему координат. Так и задумано. Для того, чтобы каждое поле имело свой уникальный идентификационный номер.
Вы видите по горизонтали расположены 8 латинских букв (именно 8 а не 7 букв, как некоторые считают). Буквами обозначаются вертикали. Цифрами слева — вертикали.
Всего на доску 64 поля. Или клетки. Каждая клетка имеет наименование, состоящее из буквы вертикали и цифры соответствующей горизонтали. Например, «поле е5». Это поле выделено на диаграмме зеленым цветом:
Вообще про нумерацию клеток и названия фигур с их обозначениями вы можете прочитать в статье — шахматная нотация.
Начальная расстановка фигур
В классических шахматах фигуры перед началом партии располагаются на доске строго определенным образом: все фигуры расположены на четырех горизонталях. Белые на 1 и 2, черные на 7 и 8. Ладьи по краям, затем кони и слоны.
В центре, на вертикалях d и е расположены король и ферзь. Именно во взаимном расположении короля и ферзя чаще всего возникает путаница. Для простоты запоминания правило такое: Ферзь располагается на поле своего цвета. Соответственно король – на поле противоположного цвета.
Обратите внимание
Пешки расположены в ряд по второй и седьмой горизонталях. Их по 8 у каждой стороны.
Рекомендую с первых шагов называть ходы в соответствии с названиями полей. Обычно при анализе партии шахматисты говорят так: «Конь эф три». Эта фраза означает ход коня на поде f3. Или: Ферзь бьет дэ пять» — ферзь побил фигуру противника, расположенную на поле d5.
Фигуры и ходы
По шахматным фигурам у нас есть отдельные статьи. Поэтому ограничимся коротким обзором. Всего у каждой из сторон по 16 фигур. В распоряжении каждого игрока, ферзь, две ладьи, два коня, два слона, по 8 пешек и конечно же король.
Король – может делать ходы на одну клетку
Ферзь — на любое расстояние
Ладья – движется по вертикали и горизонтали
Слон — по диагонали
Конь – ходит зигзагом. Если точнее, — буквой Г.
То есть на два поля вперед и одно поле в бок. Подробнее в этой статье
Пешка — может ходить или на одно поле вперед, или на два — из начального положения. Подробнее о ходах пешки в этой статье.
Король, ферзь, ладья, конь и слон могут ходить в любых направлениях.
Пешка — только вперед.
Как расставлять фигуры на доску
Рекомендую расставлять фигуры на доску, начиная с короля и ферзя. Затем легкие фигуры, ладьи, и потом пешки. Пока вы еще начинающий шахматист, такая последовательность будет способствовать запоминанию ценности шахматных фигур.
Это не строго обязательно, разумеется. Просто совет бывалого шахматиста.
Как играть новичку
Если вы начинающий шахматист, рекомендую начинать партию ходом е2-е4. Это самый популярный ход в мире. Этому есть объяснение.
Ход е2-е4 открывает дорогу сразу двум фигурам: ферзю и слону. Кроме того, белые уже первым ходом начинают борьбу за контроль центра доски.
Соответственно черными в ответ на е2-е4 резонно ответить е7-е5. Аргументы аналогичны вышеизложенным.
В дальнейшей игре рекомендую руководствоваться следующими принципами:
Развивайте легкие фигуры – слонов и коней. Коней лучше выводить ближе к центру доски – на поля f3, с3,f6,с6.
Центр доски – поля е4, е5, d4 и d5 является определяющим плацдармом для борьбы за преимущество. Старайтесь держать эти поля в поле зрения своих фигур
Старайтесь не тянуть с рокировкой. В целях безопасности короля.
Избегайте необдуманных ходов крайними пешками, особенно на два поля. Это ослабляет позицию.
Для раннего ввода в игру ферзя должны быть веские основания. Эта сильнейшая фигура обладает большими возможностями, но в силу своей ценности может оказаться объектом для атаки. Придется постоянно уводить ферзя от размена на менее ценную фигуру.
Важно
Понятно, что это очень общие принципы, изложенные кратко. Для описания различных шахматных стратегий написаны десятки монографий. Если вы начинающий – всему своё время.
Еще раз подчеркнем: Начальная расстановка фигур на шахматной доске в классических шахматах строго определена. В других видах шахмат, например в шахматах Фишера расстановка произвольна. Но это совсем другая история.